梅赛定理证明

梅赛定理证明

梅赛定理在某些特定的题目中使用非常方便,在此证明两个定理。

梅涅劳斯定理:

梅涅劳斯定理

设$\displaystyle \angle ANM=\alpha$,$\displaystyle \angle AMN=\beta$,$\angle MLC=\gamma $

$\because 在\triangle AMN中有正弦定理$

$\displaystyle \therefore \frac{AN}{AM} =\frac{\sin \beta }{\sin \alpha} $

$\displaystyle 同理可得 \frac{BL}{BN} =\frac{\sin \alpha }{\sin \gamma},\frac{CM}{CL} =\frac{\sin \gamma }{\sin \beta} $

$\displaystyle \therefore \frac {AN}{AM}\cdot \frac {BL}{BN}\cdot \frac {CM}{CL}=\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }\cdot \frac {\sin \alpha }{\sin \gamma } \cdot \frac {\sin \gamma }{\sin \beta }=1$

$\displaystyle 即\frac {AN}{AM}\cdot \frac {BL}{BN}\cdot \frac {CM}{CL}=1$

赛瓦定理:

赛瓦定理

$\displaystyle \because \frac{BD}{DC} = \frac{S \triangle ABD}{S \triangle ADC} = \frac{S \triangle OBD}{S \triangle ODC} $

$\displaystyle \therefore \frac {BD}{DC}=\frac {S \triangle ABD-S \triangle OBD} {S \triangle ADC-S \triangle ODC}=\frac {S \triangle ABO} {S \triangle CAO}$

$\displaystyle 同理可得\frac {CE}{EA}=\frac{S \triangle BCO}{S \triangle ABO}, \frac{AF}{FB} =\frac{S \triangle CAO}{S \triangle BCO} $

$\displaystyle \therefore \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = \frac {S \triangle ABO} {S \triangle CAO} \cdot \frac{S \triangle BCO}{S \triangle ABO} \cdot \frac{S \triangle CAO}{S \triangle BCO}=1$

作者

EvanLuo42

发布于

2021-09-09

更新于

2021-09-12

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